Г л а в а I

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1. Введение в кинематику

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения независимо от приложенных сил.

Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета. Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета. В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с).

Если положение тела по отношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое. Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы отсчета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но двигаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим системам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движущегося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежащая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, связанной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к системе координат, связанной с колесной парой.

Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по отношению к какой-либо выбранной системе отсчета. Задать движение тела относительно какой-либо системы отсчета - значит дать функциональные зависимости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности катания колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинематики начинают с кинематики точки.

§ 2. Способы задания движения точки

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало отсчета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движении точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую координату как функцию времени:

. (2.1)

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .

При векторном способе задания движения точки положение точки определяется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:

. (2.2)

Это равенство называется векторным уравнением движения точки.

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , , как функции времени:

; ; . (2.3)

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Движение точки в плоскости определяется двумя уравнениями системы (2.3), прямолинейное движение — одним.

Между тремя описанными способами задания движения существует взаимная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от координатного способа задания движения к векторному.

Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что

; ; ,

можно записать

А это и есть уравнение вида (2.2).

Задача 2.1. Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если ; .

Решение. Положение точки определяется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что

, .

Тогда из и :

; ; .

Подставляя значения , и , получаем уравнения движения точки :

;

или

; .

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:

; .

Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде

Следовательно, траектория точки - эллипс.

Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде

или

§ 3. Понятие скорости точки

Скорость точки является характеристикой быстроты и направления ее движения.

Пусть точка (рис. 2.5, а) движется по криволинейной траектории согласно закону . Положим, что в момент времени точка занимает положение , а в момент времени положение , пройдя за время путь .

Отношение приращения дуговой координаты к промежутку времени , за которое произошло это приращение, называется средней скоростью точки за время

. (2.4)

Очевидно, что, чем меньше промежуток времени , тем ближе значение

подходит к величине действительной скорости точки в момент времени .

Скоростью называется предел при :

;

. (2.5)

Итак, величина скорости точки равна производной от расстояния (дуговой координаты) по времени. Следовательно, она измеряется в единицах длины, отнесенных к единице времени (м/с, см/с). Формула (2.5) определяет величину скорости точки.

Чтобы знать не только величину скорости, но и ее направление, введем понятие вектора скорости. Для этого будем определять движение в векторной форме (2.2). В момент времени положение точки (рис. 2.5, б) определяется радиусом-вектором , а в момент времени , соответствующий положению , - радиусом-вектором .

Отношение приращения радиуса-вектора к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, называется вектором средней скорости точки за время , т. е.

. (2.6)

Направление вектора совпадает с направлением вектора . Рассматривая предел отношения (2.6) при приближении к нулю, получим

Из равенства (2.7) следует, что вектор всегда направлен по касательной

к траектории в точке .

Итак, вектор скорости точки равен производной от радиуса-вектора по

времени.

Равенство (2.7) можно представить в виде

Вектор , направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты и равен по модулю единице. Он называется единичным вектором касательной и обозначается . Следовательно, можно записать

Отсюда следует, что определенная равенством (2.5) алгебраическая величина представляет собой проекцию вектора скорости на направление единичного вектора касательной.

Задача 2.2. Точка обода маховика в период пуска движется согласно уравнению , где - в , - в . Определить скорость точки, среднюю скорость за и скорость через после начала движения.

Решение. Скорость точки равна первой производной пути по времени

Отсюда имеем, что через десять секунд после начала движения, т.е. при

, скорость точки составляет

Средняя скорость за некоторый промежуток времени равна отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. В нашем случае, за десять секунд точка прошла расстояние , следовательно,

§ 4. Определение скорости при координатном способе

задания движения

Пусть движение точки задано уравнениями движения в прямоугольных

декартовых координатах:

; ; .

Так как

то на основании равенства (2.7) получим

При дифференцировании принимается во внимание, что единичные векторы , , и постоянны по величине и направлению. Последнее вытекает из того, что система координат неизменно связана с телом отсчета. Коэффициента при , , в полученном равенстве представляют собой проекции вектора скорости на оси , , . Следовательно,

; ; .

Таким образом, проекции вектора скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль скорости (рис. 2.6) вычисляется по формуле

. (2.9)