§ 5. Понятие ускорения точки

 

Ускорение точки характеризует быстроту изменения ее скорости. По­ложим, что точка движется по криволинейной траектории (рис. 2.7). В мо­мент времени   она занимает положение   и имеет скорость . В момент времени   точка занимает положение   и имеет скорость . Перенося вектор

в точку   и соединяя концы векторов и   и , получим вектор , выра­жающий приращение вектора скорости за время .

Отношение приращения вектора ско­рости   промежутку времени , в тече­ние которого произошло это приращение, называется средним уско­ре­нием

 

. (2.11)

 

Рассмотрим предел выражения (2.11) при приближении   к нулю. Полу­чим истинное ускорение точки в момент времени , т. е. в положении ,

 

;

.   (2.12)

 

Таким образом, вектор ускорения равен первой производной от вектора ско­рости по времени или второй производной от радиуса-вектора по вре­мени.

Заметим, что вектор   находится в плоскости   (рис. 2.7), про­ходя­щей через касательную к траектории в точке   и параллельной каса­тельной в точке . При , стремящемся к нулю, плоскость   вращается вокруг касательной , будучи все время параллельной вектору . Плоскость, с ко­торой совпадает предельное положение плоскости   при   назы­вается соприкасающейся плоскостью к кривой в точке . Вектор   находится все время в плоскости   и направлен в сторону вогнутости траектории. Поэтому вектор   лежит в соприкасаю­щейся плоскости и тоже направлен в сторону вогнутости траектории. Уско­рение измеряется в , .

 

§ 6. Определение ускорения при координатном

способе задания движения

 

При определении ускорения в случае задания движения в прямоуголь­ных координатах, т. е. в виде

 

;  ;  ,

 

последовательность операций аналогична действиям, описанным в § 5. Сначала найдем проекции вектора ускорения на координатные оси:

 

;  ;  .  (2.13)

 

Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым произ­вод­ным от соответствующих координат по времени или первым производ­ным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Модуль ускорения определяется по формуле

 

.  (2.14)

 

Направление вектора ускорения определяется направляющими косину­сами:

;  ;  .  (2.15)

 

Задача 2.5. Движение точки задано уравнениями:

 

; ,

 

где   - в ,   - в . Определить величину и направление ускорения при .

Решение. Находим проекции ускорения на координатные оси:

 

;  .

 

Как видно, проекции ускорения не зависят от времени движения, значит ускорение тоже постоянно

 

 

и его направление

 

;  . 

 

§ 7. Разложение вектора ускорения по естественным

осям траектории

 

Прове­дем в точке   кривой   со­прикасающуюся плоскость (рис.2.8), оп­реде­ление которой дано в разделе § 6, и плоскость, перпендикуляр­ную к касатель­ной. Эта плоскость называется нормаль­ной плоскостью. Ли­ния пересечения нормальной и соприкасающейся плоско­стей называется главной нормалью кри­вой. Прямая, пер­пендикулярная к главной нор­мали и каса­тельной, назы­ва­ется бинорма­лью. 

Рас­смотрим три взаимно перпенди­куляр­ные оси: касательную, направленную в сторону возрастания дуговой коорди­наты; главную нормаль, направлен­ную в сторону вогну­тости кривой; бинормаль, направлен­ную по отношению к двум другим осям подобно тому, как ось   направлена по отношению к осям   и . Эти три оси называются естественными осями кривой. Еди­ничные век­торы этих осей принято обозначать соответственно ,   и .

Из курса высшей математики известно, что угол поворота касательной при переходе точки из одного положения в другое называется углом смежности. Предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты , когда она стремится к нулю, называется кривизной   кривой в точке

 

 

. (2.16)

 

Ве­личина , обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны:

 

. (2.17)

 

Представим вектор скорости   в виде произведения его проекции на

каса­тельную и единичного вектора . Тогда

 

.

 

Величина единичного вектора   постоянна, направление же его при дви­жении точки вдоль ее траектории меняется. Поэтому вектор   нельзя рассматривать как постоянный и его производная по времени не равна нулю. Диф­ферен­цируя последнее выражение как произведение двух функций времени, полу­чим

 

. (2.18)

 

 

Выясним, чему равна производная . Возьмем на кривой   (рис. 2.9) два положения движущейся точки   и , соответствующие моментам времени   и . Орты касательной в этих точках соответственно   и . Перенося   в точку , определим приращение орта   . Как видно из рисунка,

 

;

.

 

Следовательно,

 

.

 

Из рис. 2.9 видно, что угол, образованный вектором   и касательной, .  При     и поэтому . Это значит, что вектор   направлен по нормали к траектории, а так как он лежит в соприкасающейся плоскости, то эта нор­маль является главной нормалью.

Значит,

 

,

 

и равенство (2.18) примет вид

 

. (2.19)

 

Первое слагаемое суммы (2.19) называется касательным ускорением

точки , второе - нормальным ускорением . Тогда

 

. (2.20)

 

Проекции ускорения на касательную и главную нормаль соответственно равны:

 

; (2.21)

. (2.22)

 

Проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю.

Модуль полного ускорения точки определяется через ее касательное и

нормальное ускорения

 

. (2.23)

 

Задача 2.5. Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид:

 

; ,

 

где   - в ,   - в . Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.

Решение. Находим проекции скорости точки на координатные оси. Так как

 

;

,

 

получаем

 

;.

Определяем модуль вектора скорости

 

Находим проекции ускорения на координатные оси:

 

.

 

Определяем модуль вектора ускорения. Так как

 

 

то

 

.

 

 Определяем модуль касательного ускорения:

 

,

 

тогда модуль нормального ускорения:

 

 

§ 8. Некоторые частные случаи движения точки

 

Пользуясь полученными результатами, исследуем зависимость значений ее нормального и касательного ускорений от характера движения точки.

При равномерном движении, когда численное значение скорости   постоянно, касательное ускорение   обращается в нуль. Оно отлично от нуля только при неравномерном движении и поэтому характеризует изменение скорости по величине.

При прямолинейном движении, когда радиус кривизны траектории   равен бесконечности, нормальное ускорение обращается в нуль. Оно отлично от нуля только при криволинейном движении и, следовательно, характеризует изменение скоро­сти по направлению.

Обе составляющие ускорения обращаются в нуль только при равномерном и прямолинейном движении.

Неравномерное движение точки называется ускоренным, если модуль скоро­сти возрастает, и замедленным - в противоположном случае. Легко доказать, что движение является ускоренным, если знаки величин   и   одинаковы, и замедленным, если эти знаки различны. При ускоренном движении вектор касательного ускорения направлен в ту же сторону, что и скорость, при замедленном - в противоположную сторону.

Движение называется равнопеременным в том случае, если касательное

ускорение постоянно, т. е.

 

, (2.24)

 

откуда

 

.

 

Интегрируя последнее выражение и имея в виду, что при   , полу­чим

 

. (2.25)

 

Формула (2.25) определяет скорость равнопеременного движения. Под­ставляем в нее значение . Интегрируя и имея в виду, что при   , получим

 

. (2.26)

 

Выражение (2.26) называют уравнением равнопеременного движения точки по траектории.