Г л а в а III

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
 ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 15. Задание плоского движения твердого тела

Плоским или плоскопараллель­ным движением твердого тела называ­ется такое его движение, при котором ка­ждая точка тела движется в плоско­сти, параллельной некоторой неподвижной плоскости, например движение колеса ва­гона на прямолинейном участке пути, дви­жение шатуна кривошипно-шатунного ме­ханизма.

Рассмотрим движение плоской фи­гуры, представляющей собой сечение тела, находящегося в плоском движении, плоскость , параллельной неподвижной плоскости   (рис. 2.15). При плоском движении все точки тела, лежащие на прямой , перпендику­лярной к сечению , т. е. к плоскости , движутся

тождественно. Поэтому вме­сто плоского движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости.

В кинематике твердого тела изучаются три основных вопроса: задание движе­ния тела, вычисление скорости ка­кой-либо его точки и вычисление ее уско­ре­ния. Кроме этих вопросов  изучаются и другие  вопросы, представляющие на­учный и технический интерес.

Положение движущейся плоской фигуры в ее плоскости относительно не­подвижной системы осей координат   определя­ется положением какого-либо отрезка, жестко связанного с этой фигурой (рис. 2.16).

Положение отрезка   можно определить, зная радиус-вектор   точки   и угол , который образует отрезок   с осью . Точку   называют полюсом. При движении тела величины   и   будут изменяться в зависимости от времени, т. е.

; (2.44)

. (2.45)

Уравнения (2.44) и (2.45) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Теорема. Всякое перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно пред­ставить как совокупность двух перемещений: 1) поступательного переме­щения, зависящего от выбора полюса; 2) вращательного перемещения вокруг полюса; угол и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Доказа­тельство. Пусть в момент времени   фигура занимала положение   (рис. 2.17), а в момент времени   - положе­ние . Переместим сначала

фигуру посту­пательно в положение а затем по­вернем ее на угол   вокруг точки . Заметим, что поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а угол поворота не зависит от него. Действительно, тот же переход из положения   в положе­ние   можно осуществить, приняв за полюс точку   и переместив сначала фигуру в положение (причем все точки фигуры получат перемещения, гео­метрически равные   и отличные от , а затем повернув фигуру на   во­круг точки .

Но углы

,   (2.46)

так как отрезки   и   параллельны и повороты вокруг точек   и   происходят в одну сторону.

Продифференцировав равенство (2.46), получим

;  , (2.47)

т. е. угловая скорость и угловое ускорение не зависят от выбора полюса пло­ской фигуры при плоском ее движении.

§ 16. Вычисление скорости точки тела при плоском

движении

Положение любой точки   плоской фигуры можно определить радиусом-вектором (рис. 2.18)

, (2.48)

где   - радиус-вектор полюса ;

 - вектор, определяющий положение точки   относительно системы 

 , перемещающейся вместе с полюсом   поступательно 

 (движение тела по отно­шению к этой системе представляет собой

 вращение вокруг полюса).

Так как вектор скорости какой-либо точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора, то, продифференцировав радиус-вектор , определяемый зависи­мостью (2.48), получим скорость точки

, (2.49)

где   - скорость полюса ;

   - производная, равная вектору скорости , которую точка 

   получит при , т. е. относительно системы 

 , или, иначе, при вращении тела вокруг полюса .

  Следовательно, скорость точки   во вращательном движении вокруг полюса