В электрических цепях возможны
включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков
цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических
цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер
коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По
направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.
При коммутации в цепи возникают переходные процессы,
т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося
значения к другому.
Изменения токов и напряжений вызывают
одновременное изменение энергии электрического
и магнитного полей, связанных с элементами цепи - емкостями и индуктивностями.
Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться
только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от
источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны
законы коммутации.
Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может
изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое
он имел непосредственно перед моментом коммутации
iL (0+) = iL (0-),
где iL (0+) - ток в ветви
с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+"
в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается
от момента коммутации;
iL (0-)
- ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.
Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации
сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом
коммутации.
uC (0+) = uC (0-),
где uC (0+) - напряжение
на емкости в момент коммутации;
uC (0-)
- напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.
Допущения, применяемые при анализе
переходных процессов.
- Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.
- Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно,
без образования электрической дуги.
- Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы
в цепи закончились.
В соответствии с классическим методом
расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного
и свободного токов.
.
где iпр(t) - принужденный ток, определяется
в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником
питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток
будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный
ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону;
iсв(t) - свободный
ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний
источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания:
ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.
Свободный ток определяют по формуле:
.
Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных
элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.
P1, P2 - корни характеристического
уравнения.
А1, А2 - постоянные интегрирования,
определяются с помощью начальных условий.
Начальные условия - это переходные токи и напряжения
в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю.
Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми.
Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся
законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это
напряжение на емкости uc(0) и ток в ветви с индуктивностью
iL(0) в момент коммутации.
Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви
с сопротивлением uR(0) и iR(0),
напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью
iC(0) - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются
законам коммутации и могут изменяться скачком.
Короткое замыкание в R-L цепи
На рис. 8.1 изображена электрическая
цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации
рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.
До коммутации по индуктивности протекал ток
Этот ток создавал постоянное магнитное поле
в индуктивной катушке.
Рис.
8.1
Определим закон изменения
тока в индуктивности после коммутации.
В соответствии с классическим методом
Принужденный ток после
коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление,
и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную
составляющую
Магнитное поле, исчезая,
индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в
R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Запишем уравнение для свободного тока в
R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.
(8.1)
Ищем решение этого уравнения
в виде экспоненты
.
Производная
.
Подставим значения свободного
тока и производной тока в уравнение (8.1)
(8.2)
Уравнение (8.2), полученное
из уравнения (8.1), называется характеристическим.
- корень характеристического уравнения.
- постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ - это интервал времени,
за который переходный ток уменьшается в e раз.
.
Постоянную интегрирования
А определяем с помощью начального условия.
В соответствии с первым
законом коммутации,
.
Получим 
Напряжение на индуктивности
.
На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в
ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный
ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю.
В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный
(4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.
Рис. 8.2
Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС
В схеме на рис. 8.3 до коммутации
рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и
подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения
тока i(t).
.
Принужденный ток в установившемся
режиме после коммутации
.
В свободном режиме из схемы
исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС
ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.
Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента
коммутации, (t = 0). 
,
откуда 
.
Рис. 8.3
До коммутации рубильник
был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Сразу после коммутации ток в индуктивности
остается равным нулю.
.
.
.
Напряжение на индуктивности
.
На рис. 8.4 изображены кривые переходного,
принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.
Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются
до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы
по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля,
затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.
Рис. 8.4
Короткое замыкание в R-C цепи
В схеме на рис. 8.5 в результате
коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C
контур.
До коммутации емкость полностью зарядилась
до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-)
= E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно,
принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе
равны нулю.
В цепи существует только свободный ток за счет напряжения
заряженного конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону
Кирхгофа
.
Рис. 8.5
Ток через конденсатор
.
Получим дифференциальное уравнение
.
(8.3)
Решение этого уравнения
.
Подставим значение свободного напряжения
и производной от напряжения
в уравнение (8.3).
.
Уравнение 
называется характеристическим.
- корень характеристического уравнения;
- постоянная времени переходного процесса;
Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе
по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).
Рис. 8.6
Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС
Полагаем, что до коммутации
конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
В результате коммутации рубильник замыкается, и
конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно
ЭДС источника питания ucпр= E.
Переходное напряжение
.
В момент коммутации 
.
Постоянная интегрирования 
.
В соответствии со вторым законом коммутации
. 
.
Рис. 8.7
Переходное напряжение
.
Переходный ток
.
Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.
Рис. 8.8
