8. Переходные процессы в линейных
электрических цепях

     При последовательном соединении сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9).
       Дифференциальное уравнение для тока в контуре

.

       После дифференцирования по t и деления на L получим

              .        (8.4)

     Решение уравнения (8.4) равно сумме принужденной и свободной составляющих
                .
     В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю, так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока.
                 Рис. 8.9

       Свободная составляющая является общим решением уравнения

              .       (8.5)

       Пусть     ,     ,      .

     После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение     

.

       Характеристическое уравнение имеет два корня

,

       где - коэффициент затухания;

              - угловая резонансная частота контура без потерь.

       Получим

.

       Вид корней зависит от отношения

,

       где - характеристическое или волновое сопротивление контура;

              - добротность контура.

        Колебательный режим

     Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P_1,2 - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае

,       ,      ,      ,

       где  - угловая частота собственных колебаний в контуре;

              - период собственных колебаний.

        Ток в цепи

,     (8.6)

       где А и φ - постоянные интегрирования.

      До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю

.

       Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности

.     (8.7)

     где - напряжение на индуктивности в момент коммутации, является зависимым начальным условием. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для момента коммутации, чтобы определить зависимое начальное условие .

.

       До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому

.

      Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений

     (8.8)

       Решив систему (8.8), определим

.

     На рис. 8.10 приведена кривая изменения тока в контуре при подключении к нему источника постоянной ЭДС. Из рисунка видно, что колебания в контуре затухают по показательному закону из-за потерь электрической энергии в сопротивлении R. Затухание происходит тем медленнее, чем меньше коэффициент затухания α .



             Рис. 8.10

        Постоянная времени переходного процесса .

     При малом коэффициенте затухания величина ω_С незначительно отличается от резонансной частоты ω₀.
    Относительное  затухание колебаний  характеризуется  декрементом затухания, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период.

.

       Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания

.

       Для контура с небольшим затуханием, когда

     Апериодический режим в R-L-C контуре наблюдается при большом затухании, когда . В этом случае корни P_1,2 вещественные, отрицательные, различные.

       Свободный ток определяется по формуле

.     (8.9)

       Напряжение на индуктивности

.     (8.10)

     Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений

       Решив эту систему, определим постоянные интегрирования

.

       Выражение для тока в контуре

состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P₁ и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P₂ (рис. 8.11).