Г л а в а  I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

§ 1. Абсолютно твердое тело. Сила. Система сил

 Абсолютно твердым телом* называется материальное тело, в котором рас­стояния между точками остаются неизменными неза­висимо от действующих сил. Несмотря на такую абстракцию, ме­тодами статики твердого тела могут быть решены задачи о рав­новесии реальных деформируемых тел.

 Сила - количественная мера механи­ческого взаимодействия материальных тел, характеризующаяся величиной, направле­нием и точкой приложения. Сила является век­торной величиной. Прямая, по которой направлен век­тор силы , называется линией дейст­вия силы (рис. 1.1).

 Совокупность сил, приложенных к одному или нескольким твердым телам, называется системой сил. Системы сил, оказыва­ющие на твердое тело одинако­вые действия, называются эквива­лентными системами. Если существует одна сила, эквивалентная некоторой системе, то она называется равнодействующей этой системы.

 Твердое тело, которое может занимать в пространстве любое произвольное положение, называется свободным. Если же свобода перемещения тела в про­странстве ограничена другими телами, то данное тело называется несвободным, а ограничивающие его те­ла - связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. Например, опоры моста, на которые опирается пролетное строение, являются

для последнего связями, а силы, с которыми они действуют на пролетное строе­ние – реакциями этих опор. Силы, не являющиеся реакциями связей, называются задаваемыми, или активными.

 Система сил называется уравновешенной, если ее приложение к покояще­муся свободному твердому телу не нарушает его состо­яния покоя.

 Силы, приложенные к телу во всех точках части поверхности или во всех точках объема тела, называются распределенными. Если же сила приложена в одной точке, то она называется сосре­доточенной. Реально все силы в природе являются распределен­ными, сосредоточенные же силы есть равнодействующие некоторых распределенных. Например, реакцию рельса, действующую на коле­со, иногда представляют в виде сосредоточенной силы, хотя в действительно­сти колесо и рельс соприкасаются не в одной точке, а по некоторой площадке. Примерами распределенных сил могут служить сила тяжести, сила давления воды, давление ветра, сы­пучих грузов и т.д. При решении задач статики часто целесообразно распреде­ленную нагрузку заменять одной эквивалентной сосредоточенной силой.

 Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости. Пло­ская система распределен­ных сил характеризуется ее интенсивностью  , то есть вели­чиной силы, приходящейся на единицу длины. Заменим нагрузку, распределенную вдоль отрезка прямой по произвольному закону, сосредоточенной силой (рис. 1.2).

Равнодействующей распределенной нагрузки будет сила , равная по модулю площади фигуры , измеряемой в соответствующем масштабе. Линия действия силы   проходит через центр тяжести этой площади.

 В частном случае сил, распределенных вдоль отрезка прямой, значения эквивалентных сосредоточенных сил могут быть найдены по формулам, определяющим площади плоских фигур:

для прямоугольника (рис. 1.3, а)

   (1.1)

для треугольника (рис. 1.3, б)

  . (1.2)

 Для прямоугольника линия действия силы   проходит через точку пересечения его диагоналей, а в случае треуголь­ника через точку пересечения его медиан.

§ 2. Аксиомы статики твердого тела

В основе статики твердого тела лежат аксиомы, установленные из опытов и наблюдений. Всё содержание статики может быть получено дедуктивно (т.е. посредством логических умозаключений с использованием соответствующего математического аппарата) как следствие этих аксиом.

 Аксиома 1 (о равновесии двух сил). Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, уравновешиваются тогда и только тог­да, когда они равны по ве­личине, противонаправлены и имеют общую линию действия (рис. 1.4).

 Аксиома 2 (о присоединении и исключении уравновешенных сил). Дейст­вие данной системы сил на твердое тело не изменяет­ся, если к ней присоеди­нить или исключить из нее уравновешен­ную систему.

 Из аксиом 1 и 2 логически получаем следствие: не изменяя действия силы на твердое тело, можно переносить точку приложе­ния силы вдоль линии дейст­вия. Иногда этот факт выражают сло­вами: сила, приложенная к абсо­лютно твердому телу, есть вектор скользящий. В самом деле (рис. 1.5), пусть на твердое тело дей­ствует сила , приложенная в точке . Приложим в произ­вольной точке , лежащей на линии дейст­вия силы , две уравновешенные силы   и , причем , . Согласно аксиоме 2 полученная система из трех сил эквивалентна силе . Но силы и согласно аксиоме 1 уравновешива­ют­ся и их можно отбросить, сле­дова­тельно, сила эквивалент­на системе , а потому и данной силе .

 При формулировании этой аксиомы полагают, что сила при переносе точки ее приложения работы не совершает.

 Аксиома 3 (закон параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке тела под углом друг к другу, выражается по величине и по направлению диагональю параллелограмма, построен­ного на заданных силах (рис.1.6):

.

 Величину равнодействующей силы можно определить по теореме косинусов

или по теореме синусов

.

 Аксиома 4 (о действии и противодей­ствии). Два тела дейст­вуют друг на друга с силами, равными по величине и направлен­ными по одной прямой в противопо­ложные стороны (рис. 1.7).

 Заметим, что эти силы приложены к разным телам.

 Аксиома 5 (аксиома отвердевания). Равновесие нетвердого тела не нару­шится, если при тех же действующих на него силах оно затвердеет и станет абсолютно твердым.

 На основании этой аксиомы результа­ты, полученные в статике абсолютно твердого тела, можно применять к дефор­мируемым телам.

 Утверждение, обратное аксиоме 5, неверно (если тело пе­рестает быть твер­дым, то его равновесие может нарушиться).

 Аксиома 6 (аксиома освобождаемости от связей). Не изменяя состояния несвободного тела, можно отбросить наложенные на него связи, приложив их реакции, после чего рассматривать тело как свободное.

§ 3. Некоторые виды связей и их реакции

 1) Реакция гладкой поверхности без трения направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1.8, а, б). Такая ре­акция называется нормальной. Если поверхность одного из тел не имеет нор­мали в точке кон­такта, реакция при отсутствии трения направлена по нормали к поверхности другого (рис. 1.8, в).

 2) Реакция шарнирно-подвижной опоры без трения направлена перпендикулярно к опорной поверхности (рис. 1.9, а).

 3) Реакция шарнирно-неподвижной опоры без трения прохо­дит через центр шарнира, но направление ее неизвестно. При решении задач реакцию такой опоры удобно разложить на две составляющие (рис. 1.9, б) или на три, если шар­нир пространст­венный (сферический) (рис. 1.9, в), направленные параллельно координатным осям. Каждая из этих составляющих считается не­известной.

4) Реакция гибкой нерастяжимой связи (нити, канаты, цепи) или стержне­вой связи (прямолинейного стержня, вес которо­го не учитывается, с шарнирами на концах) направлена вдоль этой связи (рис. 1.10, а, б).

 5) Реакция цилиндрического шарнира (рис. 1.11, а) может иметь любое направле­ние в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости . При решении задач такую реакцию принято раскладывать на две составляющие   и , которые считаются неизвестными.

 6) Реакция подпятника (рис, 1.11, б) может иметь любое на­правление в про­странстве. При решении задач она раскладывает­ся аналогично реакции сфери­ческого шарнира.

 7) О реакции жесткой заделки (рис. 1.11, в) будет сказано в § 9.

Г л а в а II

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

§ 4. Равнодействующая сходящихся сил

 Если линии действия всех сил системы   пересекаются в од­ной точке, то сис­тема называется системой сходящихся сил, а точка пересечения – точкой схода. Пусть к твердому телу при­ложена некоторая система сходящихся сил. На осно­вании след­ствия из аксиом 1 и 2 можно перенести точки приложения всех сил в точку схода. Тогда мы получим пучок сил, приложенных в одной точке. Рассмотрим для определенности пучок трех сил и покажем, что он имеет равнодействующую (рис. 1.12). Для этого сначала на основании аксиомы параллелограмма определим равнодействующую   сил   и : , которая приложена к точке схода . Далее так же найдем равнодействующую   сил   и :

.

Аналогично может быть определена равнодействующая для любого числа сходящихся сил. Следовательно, система сходящихся сил всегда имеет равнодействующую, равную их векторной сумме и приложенную в точке схода:

. (1.3)

 Векторная сумма может быть определена или последовательным

применением правила параллелограмма, или, что проще, построением векторного (силового) многоугольника. Из векторного равенства (1.3), проектируя его на оси координат, получим:

, , .

Модуль равнодействующей определяют по формуле

,

а направляющие косинусы по формулам:

, , .

Для сил, лежащих и одной плоскости, формулы упрощаются .

§ 5. Условие равновесия сходящихся сил

 Для сходящихся сил необходимое и достаточное условие рав­новесия со­стоит в равенстве нулю ее равнодействующей. В геоме­трической форме оно выражается одним векторным равенством . Это векторное равенство эк­вивалентно трем уравнени­ям равновесия в проекциях на координатные оси:

, , . (1.4)

 Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил не­обходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из

трёх координатных осей равнялись нулю.

 Для равновесия системы сходящихся сил, лежащих в одной плоскости, не­обходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения равновесия:

, < .

Задача 1.1. Цилиндр весом   удержива­ется в равновесии с помощью веревки (рис. 1.13). Нормальная реакция опор­ной поверхности . Определить натяжение веревки и вес , если изве­стны углы , .

Решение. Рассмотрим равновесие системы сил, при­ложенных к цилиндру. Освободим цилиндр от связей. Покажем реакции   и   (нормальная реакция опорной плоскости и натя­жение нити). Силы ,   и   образуют плоскую сходящуюся систе­му сил. Выбрав координатные оси   и , как показано на схеме, составляем два уравнения равно­весия:

. (а)

. (б)

Из (а) получаем

.

Из (б)

.