§ 10. Расчет усилий в стержнях ферм

 

 Фермой называется неизменяемая стержневая система, состо­ящая из прямо­линейных стержней, соединённых между собой на концах посредством

шарни­ров. Шарниры, соединяющие стержни, на­зываются узлами фермы. Слово "неиз­меняемая" означает, что вза­имное расположение стержней остается неизмен­ным. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, обра­зованных из треугольников. В таких фермах число стержней   и число узлов   связаны соотношением .

 При расчете усилий в стержнях фермы предполагают, что вес стержней пренебрежимо мал в сравнении с действующими на ферму силами и что эти силы приложены к ней только в узлах. При этих допущениях стержни фермы являются стержневыми связя­ми для ее узлов. Реакции стержневых связей на­правляют вдоль стержней, предполагая, что они растянуты (от узлов). Для сжа­тых стержней в результате решения уравнений равновесия будем получать от­рицательные значения реакций.

 Для расчета усилий в стержнях нужно сначала определить внешние опор­ные реакции. Усилия в стержнях могут быть опреде­лены двумя методами - ме­тодом вырезания узлов и методом сквозных сечений. При первом методе по­следовательно рассматривают равновесие узлов фермы, выбирая каждый раз такой узел, где сходится не более двух стержней, усилия в которых неизвестны. Для каждого узла составляют по два уравнения равновесия и из них опреде­ляют реакции стержней. При втором методе ферму мыс­ленно рассекают на две части так, чтобы в сечение попало не более трёх стержней, усилия в которых неизвестны, и для одной из двух частей составляют три уравнения равновесия плоской системы сил. Уравнения необходимо составить так, чтобы в каж­дом уравнении была только одна неизвестная реакция стержня (метод Риттера).

Задача 1.5. Определить усилия во всех стержнях фермы, пока­занной вместе с приложенными силами на рис. 1.20, если .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Рассматривал ферму как одно твердое тело, составляем уравнения равновесия приложенной к ней плоской системы внешних сил - заданных   и   и реакций внешних связей , , . Используем первую форму уравнений равновесия плоской системы сил: 

 

, , .

 

Из этих уравнений находим

 

.

 

 Покажем применение метода выреза­ния узлов.

 Вырежем узел . Для этого осво­бождаем его от связей - внешней (шарнирно-неподвижной опоры) и внут­ренней (стерж­ней 1 и 2), приложив реак­ции опоры ,   и стержней ,   (рис. 1.21). Составляем два уравнения равновесия плоской системы сходящих­ся сил, приложенных и точке :

 

, .

 

Из них находим:

 

,

.

 

Стержень 1 растянут, стержень 2 сжат.

  Далее вырезаем узел , так как для него неизвестны усилия лишь в двух cтержнях (3 и 4). Схема приложения сил показана на рис. 1.22. Реакция стержня 2 на узел   обозна­чена . Она также направлена от узла в сторону стержня, т.е. противоположно реакции   стержня 2 на узел , и равна ей как по величине, так и по знаку: .

 Уравнения равновесия узла   имеют вид 

 

,  .

 

 Из этих уравнений определяем 

 

,  .

 

 Оба стержня сжаты. Для дальней­шего расчета усилий в стержнях мето­дом вырезания узлов можно последовательно выре­зать узлы ,   и . Студен­там реко­мендуется проделать это самостоя­тельно.

(От­веты:

;; ;; ).

 Покажем применение метода сквозных сечений.

 Рассекаем ферму по стержням 4, 5, 6 на две части, правую часть мысленно отбрасываем, а к левой прикладываем реакции перерезаемых стержней , ,   (рис. 1.23). Для левой части фермы составляем уравнения равновесия:

 

 ;

 ;

 ;  .

 

 Точки   и   выбраны в качестве центров моментов по­тому, что в каждой из них пересекаются линии действия двух неизвестных сил, а ось   - в качестве оси проекций потому, что к ней две неизвестные силы перпендикулярны. Заме­тим, что ось   не перпендикулярна отрезку   (вторая форма уравнений рав­новесия). В результате мы составили 3 уравнения, в каждом из которых по од­ной неизвестной. Из этих уравнений получили те же значения реакций:

 

 ,

 ,

 .

 

Г л а в а IV

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

 

§ 11. Момент силы относительно точки как

вектор

 

 В случае плоской системы сил момент силы относительно точки был определен как алгебраическая величина. При простран­ственном рас­положении сил этого определения недостаточно, так как плоскости, проходя­щие через линии действия сил и точку, от­носительно которой определяется мо­мент, различны. Поэтому момент силы относительно точки в пространстве определим как век­торную вели­чину в виде векторного произведения , где   - радиус-вектор, прове­дённый из точки   в точку приложения   силы   (рис. 1.24). Итак, вектор   нап­равлен перпендикулярно к плоскости, содержащей линию действия силы и точку , так что с его конца вращение силы вокруг точки видно происходящим про­тив часовой стрелки. Модуль вектора   равен произведению модуля силы на расстояние от данной точки до линии действия силы (плечо силы), т.е.

.

 

 

 

 

 

 

§ 12. Момент силы относительно оси

 

 Моментом силы относительно оси   (рис. 1.25), назы­вается алгебраиче­ская величина, абсолютное значение которой равняется произведению модуля проекции силы   на плоскость , перпендикулярную к оси , на расстояние   от точ­ки пересечения оси с этой плоскостью до линии действия проекции силы на плоскость , т.е.

 

.

 

Знак "плюс'' - если направление вращения силы   вокруг точки   с конца оси   видно происходящим против часовой стрелки, если по ча­совой стрелке, то знак "минус''. Очевидно, что момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.

 В случае пространственной системы сил главным моментом относительно точки называется векторная сумма моментов всех сил системы относительно той же точки:

 

.

 

 Главным моментом пространственной системы сил относитель­но оси назы­вается сумма моментов всех сил системы относительно этой оси: 

 

 

Зная главные моменты системы сил относительно осей декар­товых коорди­нат, можно вычислить модуль главного момента отно­сительно начала коорди­нат и его направляющие косинусы

 

,

;  ;  .

 

§ 13. Равновесие твердого тела под действием произвольной про­странственной системы сил

 

 Для равновесия твердого тела под действием произвольной пространствен­ной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сла­гаемых сил на произвольно выбранные оси декартовых координат   и суммы моментов всех сил от­носительно этих осей равнялись нулю:

 

; ; ;

; ; .

 

 В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.

Задача 1.6. Определить реакции подшипников вала червячного редуктора и момент пары , если на червяк действует силы: , , ;  , . Размеры: , .

Решение. Рассмотрим равновесие вала (рис. 1.26). Освободим вал от связей и приложим к нему реакции связей. На рис. 1.26: , ,   - активные силы;   -момент пары сил; ,   - составляющие реакции подшипника ; , ,   - составляющие реакции упорного подшипника (подпятника) . Имеем шесть неизвестных величин - , , , ,   и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим шесть уравнений равновесия:

 

; (а)  ; (б)

; (в) 

 ;   (г) 

; (д)

. (е)

 

 Из (б), (д) и (е)

 

; ; .

 

 Зная , из (а) получаем

.

 

 Из (г)

.

 

 Подставляя   в (в), находим

 

.