Курс Лекций. Теоретическая механика

Введение. Список литературы.
  1. Структура теоретической механики. Основы статики
  2. Условия равновесия произвольной системы сил.
  3. Уравнения равновесия твёрдого тела.
  4. Плоская система сил.
  5. Частные случаи равновесия твёрдого тела.
  6. Задача о равновесии бруса.
  7. Определение внутренних усилий в стержневых конструкциях.
  8. Основы кинематики точки.
  9. Естественные координаты.
  10. Формула Эйлера.
  11. Распределение ускорений точек твёрдого тела.
  12. Поступательное и вращательное движения.
  13. Плоскопараллельное движение.
  14. Сложное движение точки.
  15. Основы динамики точки.
  16. Дифференциальные уравнения движения точки.
  17. Частные виды силовых полей.
  18. Основы динамики системы точек.
  19. Общие теоремы динамики системы точек.
  20. Динамика вращательного движения тела.

 

Лекция 10. Формула Эйлера.

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела.

Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени.

 

Рис.38.

 

Пусть Х1 , Х2 , Х3 – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система].

, , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система].

Так как координаты точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х1 , Х2 , Х3.

Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :

- скалярное произведение.

 

Так как системы координат ортогональны, то

скалярное произведение: , где 

Итак:

Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k).

Имеем 6 соотношений для 9 косинусов =>

3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений.

Кроме того => три координаты определяют положение точки О’ – начало системы , , .

Но 9 координат и 3 соотношение длин:

 

 

Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле.

Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).

 

 

,

1) ,

- скорость точки О’,

- скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна).

 Так как координаты  точки Qпостоянны, то

 

Тогда:

  2) ,

где  .

Скорость точки Q: .

3) Выразим и производные через направляющие косинусы :

.

Тогда:  (в неподвижной системе).

4) Проекция на ось (k= 1,2,3):

.

Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек.

5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции .

,

Дифференцируем по t:

.

По свойству производной от произведения:

при j= k => ,

при j≠ k=> .

 

Свойства:

а) симметрия по kи j;

б) при j= k=>равенство «0»;

в) размерность t-1 , т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость.

г) различных только три =>

Покажем, что

Действительно:

- по аналогии.

 

Итак:

 

 

 

или:

7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом.

 

Положим  - вектор, где

 

 

8) Тогда:

 

 -Описывает распределение скоростей.

Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью.

Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:

 

.

 Это формула Эйлера в векторной записи.

 

Контрольные вопросы:

1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве?

2. Что называется вектором мгновенной угловой скорости?

3. Напишите формулу Эйлера.

 

Hosted by uCoz