Курс Лекций. Теоретическая механикаВведение.
Список литературы. - Структура
теоретической механики. Основы статики
- Условия
равновесия произвольной системы сил.
- Уравнения
равновесия твёрдого тела.
- Плоская
система сил.
- Частные случаи
равновесия твёрдого тела.
- Задача
о равновесии бруса.
- Определение
внутренних усилий в стержневых конструкциях.
- Основы
кинематики точки.
- Естественные
координаты.
- Формула Эйлера.
- Распределение
ускорений точек твёрдого тела.
- Поступательное
и вращательное движения.
- Плоскопараллельное
движение.
- Сложное движение
точки.
- Основы динамики
точки.
- Дифференциальные
уравнения движения точки.
- Частные
виды силовых полей.
- Основы
динамики системы точек.
- Общие
теоремы динамики системы точек.
- Динамика
вращательного движения тела.
Лекция 10. Формула Эйлера.
Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела. Определить
положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта
в момент времени. Рис.38. Пусть Х1 ,
Х2 , Х3 – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система]. , , - оси, жёстко связанные с телом; орты:
, , - [декартова система].
Так как координаты
точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится
к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных),
относительно неподвижных осей Х1 , Х2 , Х3. Составим
таблицу косинусов углов между осями Х и :
- скалярное произведение.
Так как системы координат ортогональны, то скалярное произведение:
, где  
Итак: Число таких соотношений = 6 (Из 9
– ти в силу симметрии по jи k). Имеем 6 соотношений для 9 косинусов => 3
косинуса , не расположенные в одном столбце, или
в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить
из составленных 6 – ти соотношений. Кроме того => три координаты определяют
положение точки О’ – начало системы , , . Но 9 координат и 3 соотношение
длин: Это условия постоянства расстояний
между точками в абсолютно твёрдом теле. Выведем формулу Эйлера для распределения
скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39). , 1) , -
скорость точки О’, - скорость точки Q во вращательном
движении тела (так как длина постоянна). Так как
координаты точки Qпостоянны, то Тогда:
2) , где . Скорость точки Q:
. 3) Выразим и производные через направляющие
косинусы : . Тогда: (в неподвижной системе). 4)
Проекция на ось (k= 1,2,3):
. Скорости точек во вращательном движении – линейные
функции координат точек. 5) Получим более простую и наглядную форму
закона распределения скоростей, используя свойства функции .  ,
Дифференцируем по t: . По свойству производной от произведения: при
j= k => , при j≠ k=>
. Свойства: а)
симметрия по kи j; б) при j= k=>равенство «0»; в) размерность t-1
, т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как -
скорость. г) различных только три => Покажем,
что 
Действительно: - по аналогии. Итак:
или: 7)
, где - единичные вектора, жёстко связанные с телом. Положим
- вектор, где 8) Тогда:
 | | -Описывает
распределение скоростей. | Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая
на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через
точку О’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной
осью. Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно
твёрдого тела в любом движении: . Это формула Эйлера в векторной записи. Контрольные
вопросы: 1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве? 2.
Что называется вектором мгновенной угловой скорости? 3. Напишите формулу
Эйлера. |