Курс Лекций. Теоретическая механикаВведение.
Список литературы. - Структура
теоретической механики. Основы статики
- Условия
равновесия произвольной системы сил.
- Уравнения
равновесия твёрдого тела.
- Плоская
система сил.
- Частные случаи
равновесия твёрдого тела.
- Задача
о равновесии бруса.
- Определение
внутренних усилий в стержневых конструкциях.
- Основы
кинематики точки.
- Естественные
координаты.
- Формула Эйлера.
- Распределение
ускорений точек твёрдого тела.
- Поступательное
и вращательное движения.
- Плоскопараллельное
движение.
- Сложное движение
точки.
- Основы динамики
точки.
- Дифференциальные
уравнения движения точки.
- Частные
виды силовых полей.
- Основы
динамики системы точек.
- Общие
теоремы динамики системы точек.
- Динамика
вращательного движения тела.
Лекция 16. Дифференциальные
уравнения движения точки. Рассмотрим движение свободной материальной
точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона
Ньютона: , , причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат,
первых производных, времени: . Если известен закон движения (например
из кинематики): , , , то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая)
задача динамики точки. Если известна сила, то для исследования движения
необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная)
задача динамики точки. Формы дифференциальных уравнений движения 1)
2-ой закон Ньютона – для количества движения. 2) Умножим на (векторно): или - уравнение момента количества движения. [Почему?
– самостоятельно. Учесть ]. Производная по времени от момента
количества движения геометрически равна моменту силы. Подробная запись (координатная): 3) Умножим скалярно на элементарные перемещения : . - уравнение кинетической энергии.
Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы
сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. О первых интегралах
(законы сохранения). Из дифференциальных уравнений: функция координат, их
производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная
по времени равна нулю) => называется первым интегралом. Получим такие
условия. Если - первый интеграл, то и 1) Если Fx = 0, то , - интеграл количества движения (закон
сохранения количества движения). 2) Если (то есть проекция момента силы на ось
z), то из , - интеграл момента количества движения
(закон сохранения момента количества движения). 3) Получим интеграл
энергии. . Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой
скалярной функции – потенциала силового поля . Тогда: , , .
Работа:
. Чтобы было полным дифференциалом: 1) - то есть поле стационарно (не
зависит от t). 2) , с условиями из высшей математики:
; ; или
; ; или Иначе: если и , то и уравнение кинетической энергии будет
в полных дифференциалах: . Интегрируя: . Введём потенциальную энергию: . Тогда: - интеграл энергии (закон сохранения
механической энергии). Если силовое поле потенциально и стационарно,
то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна
постоянной. Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий. Энергия
сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным. Покажем,
что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности
значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51). Рис.51. Работа: , что и требовалось доказать.
. Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении
равна нулю (рис.52). Рис.52. Контрольные вопросы: 1.
Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики. 2. Напишите уравнение момента
количества движения точки. 3. Что называется перовым интегралом дифференциального
уравнения? 4. Какое силовое поле называется консервативным? |